bởi admin lúc Mon, Apr 16 '18 11:36 AM | Lần xem 608 | Lần tải 32
  • Download images Đề Thi Giải Tích B1 2010-2011
  • Download images Đề Thi Giải Tích B1 2010-2011

cosx
 
lim
 
x
ĐỀ THI HỌC KÌ I Khóa 2010: Môn Toán B1
Khoa Vật Lý – Trường ĐHKHTN
Thời gian làm bài: 90 phút
Ngày thi 24/01/2011
(Được phép sử dụng tài liệu)
1. Cho dãy số {an}, an = n n2. Chứng minh rằng {an} hội tụ và tìm
giá trị giới hạn của nó.
2. Cho dãy số {an}, an =
30+
30+...+
30+30 .. Chứng
n dấu căn
minh rằng {an} hội tụ và tìm giá trị giới hạn của nó.
1
3. Hãy xác định giới hạn x0cos3xsin2 x .
4. Cho f(x) = x2ch(x). Tính f(100)(x).
5. Hãy triển khai hàm số f(x) = ex2x2
dương của x đến số hạng chứa x5.
theo các lũy thừa nguyên
+ 2
6. Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫e1+sin2 x
0
dx hội tụ.
--- HẾT ---
2
2
n
n

n n
n n
( )
n
n
⇒ ⇒
n n+1
1




sin x


 


 
 



1
e e
lim 1+ 1
=
= = .
3.
lim
 
 


2
cos3x
 



A = = =


lim
1
lim lim
   


= = = 4.
=


lim . lim
lim


e
= .
⇒ lim
 
k

k=
2
0 1 2
100
X X X X
X
1 1 1 1
2 6 24 40
e e
∫ ∫
dx lim dx ⇒


x



x
1. Xét dãy {bn}, bn = n n 1. Đặt cn = bn – 1 0.
⇒ bn = 1 + cn n n = 1 + cn ⇒ n = (1 + cn)n = 1 + ncn + n(n 1) cn2 +…+ cn2
n(n 1) cn2.
⇒ 0 cn
2
n 1
0 ⇒
limc = 0.
n
Mà b = 1 + c limb = lim(1+ c ) = 1.
n n
Ta có: lima = limn n2 = lim n n 2 = limn n . limn n = 1 . 1 = 1.
n n n n
Vậy: Dãy số {an} hội tụ và giá trị hội tụ bằng 1.
2. Dãy số {an}, an =
30+
30+...+
30+
30 .
Ta có: 5 an 6 ⇒ an + 1 =
30+ an
6.
⇒ 30 + an = an + 12 = an + 1 . an + 1 30 + an + 1 ⇒ an an + 1.
Ta có: an an + 1
5 an 6
Theo Weierstrass về sự hội tụ của dãy đơn điệu bị chặn thì {an} hội tụ
$A = lima lima = A.
n n
Mặt khác: 30 + an = an + 12 ⇒ A2 – A – 30 = 0 A = -5 (loại) hay A = 6 (nhận).
Vậy: Dãy số {an} hội tụ và giá trị hội tụ bằng 6.
1  cosx 
1 1 2 cos3x
cosx sin2 x cosx cosx lim 1  cosx 1 A
x0cos3x x0 cos3x cos3x  x0sin x 
1  cosx  1 cosx cos3x 1 cosx (4cos3 x 3cosx)
x0 sin2 x cos3x  x0 sin2 x  cos3x  x0 sin2 x cos3x 
1 4cosx(1cos2 x) 1 4cosxsin2 x 4cosx
x0 sin2 x  cos3x  x0 sin2 x cos3x x0 cos3x
1
 cosx sin2 x 4
x0cos3x
4. f(x) = x2ch(x).
Áp dụng công thức Leibniz ta có: (uv)(100) = 100 C100.u(k)v(100k) . Trong đó: u = x2 và v = chx.
0
Ta có: (x2)(3) = 0 ⇒ k = 0, 1, 2.
Khi đó: f(100)(x) = ∑Ck .u(k)v(100k) = C100 x2chx + C100 2x.shx + C100 2.chx.
k=0
Suy ra: f(100)(x) = x2chx + 200x.shx + 9900chx.
5. f(x) = ex2x2 . Đặt X = x – 2x2. Áp dụng công thức Maclaurin với phần dư dạng Peano:
2 3 4 5
e =1+ X + 2! + 3! + 4! + 5! + o(X 5 ).

ex2x2 = 1 + (x – 2x2) + 2 (x – 2x2)2 + 6 (x – 2x2)3 + 24 (x – 2x2)4 + 120 (x – 2x2)5 + o(x5).
⇒ f(x) = ex2x2 = 1 + x – 3 x2 – 11x3 + 25 x4 + 67 x5 + o(x5).
6. Xét + x ta có: b x = lim(1eb ) = 1
0 b+ 0 b+
+exdx hội tụ.
0
Lại có: 0
+ 2
∫e1+sin2 x
0

+ex2dx
0

+exdx
0

+ 2
∫e1+sin2 x hội tụ.
0
bởi admin lúc Mon, Apr 16 '18 11:36 AM

770006.pdf
Kích thước: 97.67 kb
Lần tải: 0 lần
Download