bởi admin lúc Mon, Apr 16 '18 11:41 AM | Lần xem 1639 | Lần tải 284
  • Download images Bài tập vật lý thống kê có lời giải
  • Download images Bài tập vật lý thống kê có lời giải
  • Download images Bài tập vật lý thống kê có lời giải
  • Download images Bài tập vật lý thống kê có lời giải
  • Download images Bài tập vật lý thống kê có lời giải

m
1
3
m
2
2
2
m
1
Hướng dẫn Bài tập Vật lý thống kê – Thống kê cổ điển
Bài 1. Dùng phân bố chính tắc Gi
s, thiết lập các phân bố sau đây (các dạng khác của
phân bố Maxwell) :
Xác suất để vận tốc của một hạt của hệ có các thành phần vận tốc ở trong khoảng :
(vx,vx
dx),(vy,vy
dy),(vz,vz
dz)
Xác xuất để độ lớn vận tốc của một hạt của hệ nằm trong khoảng (v,v
dv).
Xác suất để động năng của một hạt của hệ có giá trị nằm trong khoảng (
,
d
)
Sử dụng các kết quả trên tính các giá trị trung bình sau :
a)
vn
2
2kT
m
n/2
(n2 3) (n
1)
)
v
8kT
m
c)
(v
v)2
kT (3
8)
d)
(2 m)2
v2
v2
2
2(kT)2
e)
Vận tốc có xác suất lớn nhất : v0
2kT
m
Hướng dẫn
Xác suất để vận tốc của hạt có các thành phần ở trong khoảng đã cho là :
dW(vi)
2 kTe
mvi
2kTdvi
(i
x,y,z)
Xác suất để độ lớn vận tốc của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
dW(v)
4
m
2 kT
3e
mv2
2kTv dv
Xác suất để động năng
của hạt nằm trong khoảng đã cho là :
dW(
)
2
(kT)3
e
kTd
a) Ta có vn
vndW(v)
4
m
2 kT
3
vn
e
mv2
2kTdv.
0
0
Đặt x
mv2
2kT
vn
2e
mv2
2kTdv
2kT
m
n2 1 kT xn2 1e
xdx . Từ đó ta được :
vn
2
2kT
m
n
2
n 1
x 2 e
xdx
2
2kT
m
n
2
n 3
2
.
0
Trong đó :
(a)
xa
e
xdx
là hàm Gamma.
0
) Sử dụng kết quả câu a) khi n
1, ta có : v
2
2kT
m
1/2
(2)
8kT
m
5
m
5
7
1
2
m
2
m
m
m
1
5
3
3
1
1

7
5

5
c) Ta có (v
v)2
v2
2v.v
(v)2
v2
(v)2. Theo câu b) ta đã có v
8kT
m
Áp dụng kết quả câu a) khi n
2, ta có v2
2
2kT
m
(2)
2
2kT
m
3
4
3kT . Từ
đó ta tìm được : (v
v)2
3kT
m
8kT
m
2
kT
m
3
8
d) Ta có
v2
v2
2
v4
2v2.v2
v2
2
v4
v2
2
. Áp dụng kết quả câu a) với
n
2 và n
4 ta có : v2
2
2kT
m
(2)
3kT
m
và v4
2
2kT
m
2
(2)
15
kT
m
2
. Từ đó ta tìm được :
2m
2
v2
v2
2
m2
4
15
kT
m
2
3kT
m
2
3
2
kT
2.
e) Từ biểu thức của xác suất dW(v)
4
2 kT 3v e
mv2
2kTdv, ta thấy để xác xuất dW(v)
cực đại thì hàm f(v)
4
m
2 kT
3v e
mv2
2kT phải đạt cực đại.
Ta có : f
(v)
m
2 kT
3
2v
mv3
kT
e
mv2
2kT
4
m
2 kT
3
2
mv2
kT
ve
mv2
2kT . Từ đó
suy ra : f
(v)
0
v
0,v
2kT . Lập bảng biến thiên của f(v) :
v
0
2kT
m
f
(v)
0
0
0
f(v)
0
fmax
0
Từ đó ta thấy rằng f(v) đạt cực đại khi v
2kT , nói cách khác vận tốc có xác suất lớn
nhất là v0
2kT .
Chú ý :
Trong các bài tập trên khi tính toán ta đã sử dụng một số tính chất sau của hàm
Gamma
:
(a
1)
a
(a) (a
1),
(n
1)
n!
(n
)

(2 )=
.
Khi
đó ta có :
(2)
1!
1,
(2)
(2
1)
3
2
(2)
3
2
(2
1)
3 1
2 2
(2)
3 4 và
(2)
(2
1)
5
2
(2 )=154
.Trong các tập dưới đây, trong nhiều trường hợp ta sẽ
sử dụng công thức sau :
xme
0
axdx
(m
am
1)
1
Bài 2. Viết phân bố Gi
s cho các dao động tử điều hoà tuyến tính cổ điển và tính giá trị
trung bình của năng lượng của nó .
Hướng dẫn :
H(p,q)
Hàm phân bố chính tắc Gi
s có dạng
(p,q)
Ae
kT
. Đối với dao động tử điều
hòa tuyến tính q
x
và H(x,p)
p2
2m
m 2x2
2
E
là năng lượng của dao động tử , do
1
1
1
i
i
3N
)
3
E
đó phân bố Gi
s cho dao động tử điều hòa tuyến tính có dạng :
(E)
Ae
kT . Từ điều
E
E
kiện
chuẩn
hóa
(E)dE
1,
ta

:
A
e
kTdE
1
A(
kT)e
kT
0
1
0
0
E
A.kT
1, hay A
kT . Do đó :
(E)
kT e
kT . Năng lượng trung bình :
E
E
0
(E)dE
1
kT
Ee
0
E
kTdE . Lấy tích phân từng phần ta được :
E
E
E
E
E
kT (
kT.Ee
kT
|0
kT
e
kTdE)
e
kTd
kT.e
kT
|0
kT
0
0
Bài 3.
Thiết lập phương trình trạng thái của hệ khí lý tưởng đơn nguyên tử gồm
N
nguyên tử khí; Biết năng lượng và xung lượng của mỗi hạt khí liên hệ với nhau bởi hệ
thức : cp
N
Hướng dẫn : Hàm Hamilton của hệ : H
cpi . Tích phân trạng thái của hệ :
i
1
Z
1
N !(2
)3N
e
H
kTd
1
N !(2
N
)3N i 1(V)d
e
cpi
kTdpi (1)
Mặt khác :
d
V
là thể tích của hệ
(V)
e
cpi
kTdpi
4
e
0
cp
kTp2dp, sử dụng công thức
xne
0
axdx
n!
an 1
ta tìm được :
e
cpi
kTdpi
8
kT
c
3 . Thay vào (1) ta được :
Z
1
N !(2
N
V.8
i 1
kT
c
3
1
N !(2
)3N
V.8
kT
c
3
N
VNT3N
N
Trong đó :
N
1
N !(2
)3N
8
k
c
3
N
.
Gọi P là áp suất của hệ, ta có : P
kT
lnZ
V T
NkT
V
lnV
3lnT
ln
NkT
V
Từ đó suy ra phương trình trạng thái của hệ là : PV
NkT
Chú ý : trong các bài tập thuộc loại này người ta có thể yêu cầu tính thêm các đại lượng
nhiệt động khác như : năng lượng tự do F , entropy S, nội năng U , nhiệt dung đẳng tích
CV , thế Gi
s
, enthalpy H , nhiệt dung đẳng áp CP . Lúc đó ta sẽ sử dụng các hệ thức
liên hệ giữa tích phân trạng thái Z
và các đại lượng nhiệt động để tính. Chẳng hạn đối với
ài tập trên ta có :
F
kT lnZ
NkT
lnV
3lnT
ln
S
F
T V
klnZ
kT
lnZ
T V
Nk
lnV
3lnT
ln
NkT.T
bởi admin lúc Mon, Apr 16 '18 11:41 AM

Bài tập vật lý thống kê có lời giải
.pdf 777626.pdf
Kích thước: 1.52 mb
Lần tải: 0 lần
Download